Approbatur 2 B

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos tiistai 17. kesäkuuta 2014, 09.23

Kurssin Approbatur 2 B esittely

MATP163  (5 op)

Opintojen yleistavoite

Opiskelijan tulee tuntea yleisimpien alkeisfunktioiden Taylorin sarjat, osata selvittää niiden suppenevuus ja osata käyttää niitä yksinkertaisissa sovelluksissa.

Differentiaalilaskennassa opiskelijan tulee osata määrätä usean muuttujan funktioiden osittaisderivaatat ja käyttää niitä funktioiden käyttäytymisen selvittelyssä.

Toteutus

Kurssi koostuu luennoista (30 h), ohjauksista (14 h) ja harjoituksista (14 h).

Suoritustapa

Harjoituksiin osallistuminen ja koe.

Ajoitus

Keväällä Approbatur 2 A -kurssin jälkeen maalis-toukokuussa. Edeltävinä opintoina Lineaarinen algebra ja geometria 1 (tai Approbatur 1 A), Approbatur 1 B sekä Approbatur 2 A.

Kirjallisuus

Lahtinen & Pehkonen: Matematiikkaa soveltajille 2 (luvut 7-8 pääosin), Kirjayhtymä 1988.
Adams: Calculus: a complete course (4th ed.), Addison-Wesley 1999.

Sisältö yleisesti

Sarjateoriaa ja monen (kahden ja kolmen) muuttujan differentiaalilaskentaa (n. 30 h): Sarjateoriassa esitellään potenssisarjat ja Taylorin kehitelmä sekä niiden käyttötapoja. Differentiaalilaskennassa määritellään vektorimuuttujan funktion osittaisderivaatta ja differentioituvuus, käsitellään perusasiat käyristä ja pinnoista ja niiden tangenteista ja normaaleista.

Sisältö

  1. Sarjateoria
    1. Yleistä sarjoista
      • Aritmeettinen ja geometrinen sarja
      • Positiivitermiset sarjat
      • Itseisesti suppenevat sarjat
      • Vuorottelevat sarjat
    2. Potenssisarjat
      • Taylorin ja Maclaurinin sarja
      • Sarjojen derivointi ja integrointi (ilman todistuksia)
      • Alkeisfunktioiden sarjakehitelmiä
      • sovellutuksia (numeeriset likiarvot, raja-arvot, integraalien laskeminen sarjakehitelmillä)
  2. Vektorimuuttujan funktioiden differentiaalilaskenta
    1. Vektoriarvoiset funktiot (käyrät)
      • Taso- ja avaruuskäyrä
      • Käyrän tangentti- ja normaalivektorit
    2. Kahden muuttujan funktiot
      • Avoin ja suljettu joukko
      • Joukon reuna
      • Raja-arvo
      • Jatkuvuus
    3. Osittaisderivaatta
      • Osittaisderivaatta
      • Suuntaisderivaatta
      • Differentioituvuus
    4. Ääriarvot
      • Gradientin nollakohta välttämätön ehto
      • Riittävä ehto toisten derivaattojen avulla
      • Suurin ja pienin arvo suljetussa joukossa (Weierstrassin lause)
      • Sidotut ääriarvot ja Lagrangen kertoimet
    5. Usean muuttujan reaaliarvoiset funktiot
    6. Usean muuttujan vektoriarvoiset funktiot
      • Jacobin matriisi

Opintojen arviointi

Ohjauksissa suoritetaan opiskelua edistävää ja neuvovaa arviointia, harjoituksissa taas opiskelija saa palautetta omista ja muiden suorituksista ja saa siten pohjan etenemisensä ja suoritustasonsa itsearviointiin. Kokonaisarvostelu tehdään asteikolla 1–5.