Lineaarikuvaus tasossa

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos tiistai 16. kesäkuuta 2009, 14.43

Approbatur 1 A

Lineaarikuvaus tasossa

Sovelman kuvassa vektorit e'1 ja e'2 ovat kantavektorien e1 ja e2 kuvat lineaarikuvauksessa L eli kuvat L(1,0) ja L(0,1). Lineaarikuvauksen yleinen lauseke on   L(x,y) = (ax + cy, bx + dy) = x(a,b) + y(c,d). Siten e'1 = (a,b) ja e'2 = (c,d).

Lineaarikuvausta L voit muuttaa muuttamalla kertoimien a, b, c ja d arvoja kuvan liukukytkimillä.

Sininen kuvio F on lähtöpuolen kuvattava tasokuvio ja punainen vastaavasti sen kuva lineaarikuvauksessa L. Kuvion F pisteitä A − E voit myös siirtää. Pisteet A' − E' ovat näitten kuvapisteet ja muuttuvat kuvauksen määrittelyn mukaisesti.

Valitettavasti GeoGebra-sovelma ei käynnisty. Tarkista, että Java 1.4.2 (tai uudempi) on asennettuna ja käyttöön otettuna. − Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (klikkaa tästä Javan asentamiseksi − click here to install Java now)

Luotu GeoGebralla. Jukka Koivistoinen 2007.

Tehtäviä

  1. Muuttele kertoimia a, b, c ja d ja seuraa yksitellen niitten vaikutusta kantavektorien ja F-kuvion kuvautumiseen (punaiset vektorit ja punainen F-kuvio).

  2. Muuta liukukytkimillä kertoimien arvoiksi esimerkiksi a = 1, b = −2, c = −1 ja d = 0. Katso miten punainen kuvakuvio sijaitsee (janan A'C' tulisi olla vaakasuora suunnaltaan oikealta vasemmalle ja pisteiden B' ja E' tulisi olla pystyakselilla).

  3. Muuta liukukytkimien avulla lineaarikuvaus sellaiseksi, että kuvapisteille on A' = (−2,0) ja C' = (−4,2) (tämä vaatii tehtävässä 1 tarkoitettua harjoittelua!). Katso mihin F:n vaakasakarat kuvautuvat.

  4. Vedä pisteet B ja C origoon ja etsi sitten pisteen A (ja/tai pisteiden D ja E) avulla suuntia, joissa piste ja sen kuvapiste asettuvat samalle suoralle (samaan suuntaan tai päinvastaiseen suuntaan). Tällaiset suunnat ovat lineaarikuvauksen ominaisvektoreita. Muuta lineaarikuvausta ja toista suuntien etsiminen.