Lineaarikuvaus tasossa

Approbatur 1 A

Lineaarikuvaus tasossa

Sovelman kuvassa vektorit e'₁ ja e'₂ ovat kantavektorien e₁ ja e₂ kuvat lineaarikuvauksessa L eli kuvat L(1,0) ja L(0,1). Lineaarikuvauksen yleinen lauseke on   L(x,y) = (ax + cy, bx + dy) = x(a,b) + y(c,d). Siten e'₁ = (a,b) ja e'₂ = (c,d).

Lineaarikuvausta L voit muuttaa muuttamalla kertoimien a, b, c ja d arvoja kuvan liukukytkimillä.

Sininen kuvio F on lähtöpuolen kuvattava tasokuvio ja punainen vastaavasti sen kuva lineaarikuvauksessa L. Kuvion F pisteitä A − E voit myös siirtää. Pisteet A' − E' ovat näitten kuvapisteet ja muuttuvat kuvauksen määrittelyn mukaisesti.

Tehtäviä

1. Muuttele kertoimia a, b, c ja d ja seuraa yksitellen niitten vaikutusta kantavektorien ja F-kuvion kuvautumiseen (punaiset vektorit ja punainen F-kuvio).
   
   
2. Muuta liukukytkimillä kertoimien arvoiksi esimerkiksi a = 1, b = −2, c = −1 ja d = 0. Katso miten punainen kuvakuvio sijaitsee (janan A'C' tulisi olla vaakasuora suunnaltaan oikealta vasemmalle ja pisteiden B' ja E' tulisi olla pystyakselilla).
   
   
3. Muuta liukukytkimien avulla lineaarikuvaus sellaiseksi, että kuvapisteille on A' = (−2,0) ja C' = (−4,2) (tämä vaatii tehtävässä 1 tarkoitettua harjoittelua!). Katso mihin F:n vaakasakarat kuvautuvat.
   
   
4. Vedä pisteet B ja C origoon ja etsi sitten pisteen A (ja/tai pisteiden D ja E) avulla suuntia, joissa piste ja sen kuvapiste asettuvat samalle suoralle (samaan suuntaan tai päinvastaiseen suuntaan). Tällaiset suunnat ovat lineaarikuvauksen ominaisvektoreita. Muuta lineaarikuvausta ja toista suuntien etsiminen.