Vektorien lineaarinen riippuvuus

Approbatur 1 A

Vektorien lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus

Kuvassa on kolme tason vektoria u, v ja w. Näitä vektoreita ja niitten monikertoja muuttamalla on tarkoituksena tutkia näiden vektoreitten lineaarista riippuvuutta.

Tehtäviä

1. Siirrä kuvan vasemmassa yläkulmassa oleva liukukytkin yläasentoon (ellei se jo ole). Nyt voit vektorien kärkipistettä siirtämällä valita jatkossa käytettävät vektorit u, v ja w haluamiksesi. Ensimmäisellä kerralla on hyvä valita esimerkiksi kokonaislukukoordinaatteja (vektoria muutettaessa kärkipiste hakeutuukin helposti kokonaislukupisteisiin). Vältä kuitenkin tilannetta, jossa summavektori u + v + w olisi nollavektori (summavektorin arvo näkyy ikkunassa ja ruksaamalla kohdan "näytä summavektori" näet sen myös graafisesti).
   
   
2. Siirrä liukukytkin ala-asentoon. Nyt voit säätää vektoreita u, v ja w kertoimin r, s ja t eli monikertoja ru, sv ja tw, jolloin summan u + v + w (jossa kertoimet ovat ykkösiä) sijasta näytetään lineaarikombinaatio ru + sv + tw. Kokeile muuttaa vektoreita u, v ja w. Kuten huomaat, voit siirtää niitä vain kyseisen vektorin määräämällä suoralla (jolloin alkuperäiset vektorit jäävät vaaleampina alle). Tarkkaile samalla lineaarikombinaation ru + sv + tw arvoa. Jos haluat nähdä graafisesti summavektorin ja sen muodostumisen, laita ruksi asianomaisiin ruutuihin.
   
   
3. Pidä liukukytkin ala-asennossa. Tehtävänäsi on nyt etsiä sellaiset vektoreiden u, v ja w kertoimet r, s ja t, että lineaarikombinaatio ru + sv + tw menee nollavektoriksi. Tehtävä helpottuu graafisesti, kun summavektorin näyttöruudukot ruksataan päälle. Kun tämä lineaarikombinaatio on riittävän lähellä nollavektoria, tulee kuvaan ilmoitus "Vektorit u, v ja w ovat lineaarisesti riippuvia!". (Tämä tehtävä onnistuu aina, sillä vektoreita on kolme ja tason ulottuvuus on kaksi! Ratkaisu ei ole aivan yksikäsitteinen, sillä vain kertoimien r, s ja t suhteet pysyvät samoina.)
   
   
4. Pidä liukukytkin ala-asennossa. Tehtävänäsi on nyt etsiä sellaiset kertoimet r ja s, että w = ru + sv. Siirrä tätä varten ensin vektoria tw niin, että kertoimella t on arvo t = −1. Muuttamalla vain vektoreita ru ja sv etsi tämän jälkeen samaan tapaan kuin edellisessä tehtävässä kertoimet sellaiset r ja s, että ru + sv − w = 0. Silloin yhtälö w = ru + sv toteutuu. Tämä osoittaa, että vektori w on vektoreista u ja v lineaarisesti riippuva.
   
   
5. Toista tehtävät 1−4 erilaisille vektorivalinnoille u, v ja w.
   
   
6. Siirrä liukukytkin takaisin ylä-asentoon. Muuta kolmas vektori w nollavektoriksi ja säilytä u ja v erisuuntaisina. Siirrä liukukytkin takaisin ala-asentoon. Yritä nyt vektoreita ru ja sv muuttamalla saada lineaarikombinaatio ru + sv + tw (joka on nyt pelkkä ru + sv) nollavektoriksi. Huomaat, että se ei voi mitenkään muuten onnistua kuin siirtämällä molemmat vektorit nollavektoreiksi eli kertoimien arvoilla r = 0 ja s = 0. Tämä osoittaa, että vektorit u ja v ovat silloin lineaarisesti riippumattomia.