Funktion jatkuvuus
Approbatur 1 B
Neliöönkorotusfunktion jatkuvuus
Tarkoituksena on havainnollistaa jatkuvuuden ε-δ-määrittelyä geometrisesti, kun esimerkkifunktiona on neliöönkorotusfunktio f(x) = x². Kuvassa voi vasemmalla alhaalla olevilla liukukytkimillä säätää tarkastelukohtaa x0 ja muuttujan ε arvoa, jolloin näitä vastaava suurin δ lasketaan valmiiksi.
|
Luotu GeoGebralla. Jukka Koivistoinen 2007. |
Jatkuvuuden määritelmän mukaan:
"Funktio f on jatkuva kohdassa x0, jos kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että |f(x) − f(x0)| < ε, aina kun |x − x0| < δ."
Geometrisesti tilannetta voidaan havainnollistaa tarkastelupisteen ympärille piirretyllä suorakulmiolla, jonka keskipisteenä tarkastelupiste on. Aluksi valitaan suorakulmion korkeus (= 2·ε). Tämän jälkeen tutkitaan, onko suorakulmiolle olemassa sellaista leveyttä (= 2·δ), että funktion kuvaaja tällä välillä jäisi suorakulmion sisälle. Jos tällaista leveyttä ei löydy, on funktio epäjatkuva kyseisessä kohdassa.
Jatkuvuuden osoittamiseksi ei riitä, että tällainen leveys löydetään yhdelle valitulle suorakulmion korkeudelle, vaan on näytettävä, että leveys löytyy kaikille mahdollisille korkeuksille. Tämän vuoksi leveydelle saadaan yleensä lauseke, joka riippuu tarkastelupisteestä ja valitusta korkeudesta.
Tässä tapauksessa leveyden puolikkaalle, eli δ:lle, on löydetty lauseke tarkastelukohdan ja korkeuden puolikkaan ( = ε) avulla, joten funktio on jatkuva. Lauseke on kuvan oikeassa alakulmassa.
Jos kaipaat haastavaa pohdiskeltavaa, voit miettiä seuraavia kysymyksiä:
a) Miksi δ:n lauseke toimii?
b) Miten δ:n lauseke on johdettu?