Kompleksilukulaskut

Approbatur 1 B

Kompleksilukujen laskutoimitukset

Voit muuttaa kompleksilukujen z (punainen) ja w (sininen) koordinaatteja raahaamalla niitä vastaavien vektoreiden päätepisteitä kompleksitasossa. Vasemmassa alakulmassa olevasta liukukytkimestä saat halutun laskutoimituksen tuloksen näkyviin kompleksitasoon.

Tehtäviä

1. Siirrä kuvan liukukytkin kohtaan "summa". Muuttamalla lukuja z ja w (raahaamalla vastaavien vektorien päätepisteitä) selvitä, mitä yhteistä on vektorien ja kompleksilukujen yhteenlaskulla?
   
2. Tarkastellaan seuraavaksi kompleksilukujen w ja z tuloa zw. Siirrä kuvan liukukytkin nyt kohtaan "tulo". Kulmat α ja β ilmaisevat kulman, jonka kompleksilukua vastaava vektori muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Säädä kompleksilukua w vastaavan vektorin kulmaksi α = 45° (sijoita kärkipiste sopivaan taustaruudukon leikkauspisteeseen!). Mikä tällöin pitää kompleksilukua z vastaavan kulman β olla, jotta tulovektorin zw kulma olisi 90°?
   
3. Jatka edellistä tehtävää siten, että pidät kompleksilukua z vastaavan vektorin kulman mahdollisimman hyvin samana ja muutat vain sen pituutta. Kuinka tuloa vastaavan vektorin zw kulma ja pituus muuttuvat lyhennettäessä ja pidennettäessä vektoria z? Kokeile samaa uudestaan vaihdettuasi lukua w toisenlaiseksi. Jos z on vaakasuora, milloin w ja zw yhtyvät?
   
4. Jos kompleksiluvut w ja z sijaitsevat yksikköympyrällä, niin mitä voidaan sanoa niiden tulon zw sijainnista kompleksitasossa? Entä mitä osamäärän z/w sijainnista voidaan sanoa samassa tilanteessa? (Siirrä tätä varten kuvan liukukytkin kohtaan "osamäärä".) Milloin saat tulon zw tai osamäärän z/w yhtymään toiseen luvuista?