Kompleksilukulaskut

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos perjantai 28. elokuuta 2009, 13.28
Kompleksilukujen laskutoimitukset.

Approbatur 1 B

Kompleksilukujen laskutoimitukset

Voit muuttaa kompleksilukujen z (punainen) ja w (sininen) koordinaatteja raahaamalla niitä vastaavien vektoreiden päätepisteitä kompleksitasossa. Vasemmassa alakulmassa olevasta liukukytkimestä saat halutun laskutoimituksen tuloksen näkyviin kompleksitasoon.

Luotu GeoGebralla. Jukka Koivistoinen 2007.

Tehtäviä

  1. Siirrä kuvan liukukytkin kohtaan "summa". Muuttamalla lukuja z ja w (raahaamalla vastaavien vektorien päätepisteitä) selvitä, mitä yhteistä on vektorien ja kompleksilukujen yhteenlaskulla?
  2. Tarkastellaan seuraavaksi kompleksilukujen w ja z tuloa zw. Siirrä kuvan liukukytkin nyt kohtaan "tulo". Kulmat α ja β ilmaisevat kulman, jonka kompleksilukua vastaava vektori muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Säädä kompleksilukua w vastaavan vektorin kulmaksi α = 45° (sijoita kärkipiste sopivaan taustaruudukon leikkauspisteeseen!). Mikä tällöin pitää kompleksilukua z vastaavan kulman β olla, jotta tulovektorin zw kulma olisi 90°?
  3. Jatka edellistä tehtävää siten, että pidät kompleksilukua z vastaavan vektorin kulman mahdollisimman hyvin samana ja muutat vain sen pituutta. Kuinka tuloa vastaavan vektorin zw kulma ja pituus muuttuvat lyhennettäessä ja pidennettäessä vektoria z? Kokeile samaa uudestaan vaihdettuasi lukua w toisenlaiseksi. Jos z on vaakasuora, milloin w ja zw yhtyvät?
  4. Jos kompleksiluvut w ja z sijaitsevat yksikköympyrällä, niin mitä voidaan sanoa niiden tulon zw sijainnista kompleksitasossa? Entä mitä osamäärän z/w sijainnista voidaan sanoa samassa tilanteessa? (Siirrä tätä varten kuvan liukukytkin kohtaan "osamäärä".) Milloin saat tulon zw tai osamäärän z/w yhtymään toiseen luvuista?