Kolmion suurin ala

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos maanantai 17. elokuuta 2009, 12.49

Approbatur 1 B

Kolmion suurin ala

Havainnollistetaan seuraavaa tehtävää: "Tasakylkisen kolmion huippu on tason pisteessä  (7,0)  ja kannan päätepisteet origokeskisen 2−säteisen ympyrän kehällä. Määritä tällaisten kolmioiden suurin mahdollinen ala."

Kuvan pistettä  C  voi liikuttaa ympyrän kehällä. Kuvan yläosassa näkyy kolmioon ABC liittyviä arvoja. Tehtävän ratkaiseminen on jaettu pienempiin osatehtäviin, jotka ovat kuvan jälkeen.

Valitettavasti GeoGebra-sovelma ei käynnisty. Tarkista, että Java 1.4.2 (tai uudempi) on asennettuna ja käyttöön otettuna. − Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (klikkaa tästä Javan asentamiseksi − click here to install Java now)

Luotu GeoGebralla. Jukka Koivistoinen 2007.

Tehtäviä

  1. Mikä näyttäisi olevan kolmion suurin mahdollinen ala?
  2. Missä kohti piste  C  tällöin sijaitsee tasossa ja mitkä ovat kolmion sivujen pituudet?
  3. Mikä on tehtävässä määritellyn ympyrän yhtälö?
  4. Määritellään muuttuja x siten, että piste  F  sijaitsee pisteessä  (x,0). Mikä on tällöin kolmion korkeus  AF ?
  5. Ympyrän kaaren pisteellä  C  on sama x-koordinaatti, kuin pisteellä  F . Mikä on sen y-koordinaatti muuttujan x avulla ilmaistuna? Kuinka saat tästä tiedosta selville kolmion kannan  CB  pituuden ilmaistuna x:n avulla?
  6. Kahdessa edellisessä kohdassa saatiin kolmion korkeus ja kanta ilmaistua x:n avulla. Siispä kolmion alakin voidaan nyt ilmaista muuttujan x avulla. Millainen lauseke kolmion alalle A(x) saadaan?
  7. Mikä on suurin arvo, minkä funktio A(x) voi saada? Toisin sanoen, mikä on kolmion  ABC  suurin mahdollinen ala? Ratkaisemista varten joudut derivoimaan alan lausekkeen ja selvittämään derivaatan nollakohdat!