Funktion f(x)=x² jatkuvuus
Author: Jukka Koivistoinen
Date: 12.7.2007

Tarkoituksena on havainnollistaa jatkuvuuden epsilon-delta-määrittelyä geometrisesti, kun esimerkkifunktiona on f(x)=x². Vasemmalta alhaalta voi liukukytkimistä säätää epsilonin ja tarkastelukohdan arvoa, jolloin näitä vastaava delta lasketaan valmiiksi.

Virallisen jatkuvuuden määritelmän mukaan:

"Funktio f on jatkuva kohdassa x, jos kaikilla epsilon > 0 on olemassa delta > 0 siten, että |f(x) - f(y)| < epsilon, kun |x - y| < delta."

Geometrisesti tilannetta voidaan havainnollistaa tarkastelupisteen ympärille piirretyllä suorakulmiolla, jonka keskipisteenä tarkastelupiste on. Aluksi valitaan suorakulmion korkeus (= 2*epsilon). Tämän jälkeen tutkitaan, onko suorakulmiolle olemassa sellaista leveyttä (=2*delta), että funktion käyrä tällä välillä jäisi suorakulmion sisälle. Jos tällaista leveyttä ei löydy, on funktio epäjatkuva kyseisessä kohdassa.

Jatkuvuuden osoittamiseksi ei riitä, että tällainen leveys löydetään yhdelle valitulle suorakulmion korkeudelle, vaan on näytettävä, että leveys löytyy kaikille mahdollisille korkeuksille. Tämän vuoksi leveydelle saadaan yleensä lauseke, joka riippuu tarkastelupisteestä ja valitusta korkeudesta.

Tässä tapauksessa leveyden puolikkaalle, eli deltalle, on löydetty lauseke tarkastelukohdan ja korkeuden puolikkaan (=epsilon) avulla, joten funktio on jatkuva. Lauseke on kuvan oikeassa alakulmassa.

Jos kaipaat haastavaa pohdiskeltavaa, voit miettiä seuraavia kysymyksiä:

 a) Miksi deltan lauseke toimii?
 b) Miten deltan lauseke on johdettu?

(x_0,f(x_0))

x_0

f(x_0)

x_0+\delta

x_0-\delta

f(x_0)+\epsilon

f(x_0)-\epsilon

ε

ε

δ

δ

Epsilonia ja x_0 :a vastaava
suurin mahdollinen delta:

f(x) = x²
x_0 = 1.999 (slider from -1.999 to 1.999, step 0.1)
A: (x_0, f(x_0))
ε = 1.5 (slider from 0 to 1.5, step 0.01)
δ: sqrt(x_0² + ε) - abs(x_0)
a: y = f(x_0) + ε
b: y = f(x_0) - ε
c: x = x_0 + δ
d: x = x_0 - δ
B = Intersect(yAxis, a)
C = Intersect(b, yAxis)
D = Intersect(b, c)
E = Intersect(a, c)
F = Intersect(d, a)
G = Intersect(b, d)
e = Line(A, a)
H = Intersect(e, yAxis)
P, f_1, e_1, d_1, g = Polygon(F, E, D, G)
h = Segment(B, E)
i = Segment(C, D)
j = Segment(H, A)
I = Intersect(c, xAxis)
J = Intersect(d, xAxis)
k = Segment(F, J)
l = Segment(E, I)
m = Line(A, yAxis)
K = Intersect(xAxis, m)
n = Segment(A, K)
p = Segment(B, F)
q = Segment(F, E)
r = Segment(C, G)
s = Segment(G, D)
t = Segment(J, G)
a_1 = Segment(G, F)
b_1 = Segment(E, D)
c_1 = Segment(D, I)
L: (x_0 + δ + 1, f(x_0) + ε)
M: (x_0 + δ + 1, f(x_0) + 0.03)
g_1 = Segment(L, M)
N: (x_0 + δ + 1, f(x_0) - 0.03)
O: (x_0 + δ + 1, f(x_0) - ε)
h_1 = Segment(N, O)
Q = Midpoint(L, M)
R = Midpoint(O, N)
S: (x_0 - δ, f(x_0) + ε + 0.5)
T: (x_0 - 0.03, f(x_0) + ε + 0.5)
U: (x_0 + 0.03, f(x_0) + ε + 0.5)
V: (x_0 + δ, f(x_0) + ε + 0.5)
i_1 = Segment(S, T)
j_1 = Segment(U, V)
W = Midpoint(S, T)
Y = Midpoint(U, V)
T12: "δ=\sqrt{x_0^2+\epsilon}\, -\, |x_0|=" + δ
Z: (x(B) + ceil(-x_0 / 2), y(B))
A_1: (x(H) + ceil(-x_0 / 2), y(H))
B_1: (x(C) + ceil(-x_0 / 2), y(C))
C_1 = (0.5, -2)
D_1 = (3.5, -2)
E_1 = (3.5, -4)
F_1 = (0.5, -4)
P_1, c_2, d_2, e_2, f_2 = Polygon(C_1, D_1, E_1, F_1)