Funktiosta jatkuva
Author: Jukka Koivistoinen
Date: 18.7.2007

Tarkoituksena on tehdä kohdassa nolla epäjatkuvasta funktiosta jatkuva ja derivoituva erilaisissa tilanteissa. Tehtäviä on kolme, joista ensimmäisessä jatkavana funktiona on ensimmäisen asteen polynomi (vrt. suora), toisessa toisen asteen polynomi (vrt. paraabeli) ja viimeisessä kolmannen asteen polynomi.

Jatkettavana funktiona on w(x)=2x+1, kun x < 0. Tätä funktiota pitää jatkaa kohdassa nolla siten, että siitä tulee jatkuva ja derivoituva.

Lisätehtäviä:

1. Kuinka perustelisit jatkuvuuden ja derivoituvuuden ilman kuvaa algebrallisesti, kun sinulle on annettu vain funktion w lauseke w(x) = 2x+1 ja funktio, jolla sitä jatketaan?

2. Miten muuttujan a arvon vaihtaminen vaikuttaa derivoituvuuteen ja jatkuvuuteen kohdassa nolla, kun jatkavana funktiona on g?

3. Entä kuinka a:n lisäksi b vaikuttaa jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen nollassa, kun jatkavana funktiona on nyt h?

Funktio

a

x+

b

f(x)=

g(x)=

a

x^2+

b

x+

c

h(x)=

a

x^3+

b

x^2+

c

Tehtävä:

1

2

3

Vastaus

a=2

b=1

b=2

c=1

c=2

w(x)=2x+1

x+1

s = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
t = 1 (slider from 0 to 3, step 1)
c = 3 (slider from -5 to 5, step 0.1)
a = -2.0999999999999996 (slider from -5 to 5, step 0.1)
b = -0.5 (slider from -5 to 5, step 0.1)
w = Function(2 x + 1, -10, 0)
f = Function(a x + b, 0 - 100 + 100 t, 10 - 100 + 100 t)
h = Function(a x³ + b x² + c x + 1, -300 + 100 t, 10 - 300 + 100 t)
g = Function(a x² + b x + c, 0 - 200 + 100 t, 10 - 200 + 100 t)
A: (-2.94 - 100 + 100 t, 3.61)
B: (-2.88 - 200 + 100 t, 3.62)
C: (-2.91 - 300 + 100 t, 3.62)
D: (-2.13 - 300 + 100 t, 3.66)
E = (-3.8367838541666663, 3.8203125)
F = (-1.7499999999999996, 3.8203125)
G = (-1.7586588541666663, 2.6513671875)
H = (-3.8281249999999996, 2.6427083333333337)
P, e, f_1, g_1, h_1 = Polygon(E, F, G, H)
I = (-3.8281249999999996, 2.5561197916666667)
J = (-2.754427083333333, 2.5561197916666667)
K = (-2.754427083333333, 1.8547526041666669)
L = (-3.8281249999999996, 1.8547526041666669)
Q, i, j, k, l = Polygon(I, J, K, L)
M: (-1.27 - 100 + 100 t, 3.17 - 100 + 100 s)
N: (-1.25 - 200 + 100 t, 3.03 - 100 + 100 s)
O: (-1.26 - 300 + 100 t, 3.08 - 100 + 100 s)
R = (-1.5681640624999995, 3.8203125)
S = (-0.9533854166666662, 3.8203125)
T = (-0.9533854166666662, 2.6773437500000004)
U = (-1.559505208333333, 2.6773437500000004)
V, r, s_1, t_1, u = Polygon(R, S, T, U)
W = Point(w)
Y: (-100 + 100 t, f(-100 + 100 t))
T30: "f(x)=" + a + "x+" + b
T31: "g(x)=" + a + "x^2+" + b + "+" + c
Z: (-200 + 100 t, g(-200 + 100 t))
T32: "h(x)=" + a + "x^3+" + b + "x^2+" + c + "x+1"
A_1: (-300 + 100 t, h(-300 + 100 t))
T33: "a=" + a
T34: "b=" + b
T35: "c=" + c
B_1 = (0, 1)