Kolmiotehtävä
Author: Jukka Koivistoinen
Date: 23.7.2007

Havainnollistus harjoitustehtävään 162:

"Tasakylkisen kolmion huippu on tason pisteessä (7,0)  ja kannan päätepisteet origokeskisen 2−säteisen ympyrän kehällä. Määritä tällaisten kolmioiden suurin mahdollinen ala."

Pistettä C voi liikuttaa ympyrän kehällä. Ylhäällä näkyy sen hetkiseen kolmioon liittyviä arvoja. Kuvan alle on pyritty jakamaan tehtävän ratkaiseminen pienempiin osiin.

1. Mikä näyttäisi olevan kolmion suurin mahdollinen ala?

2. Missä kohti piste C tällöin sijaitsee tasossa ja mitkä ovat kolmion sivujen pituudet?

3. Mikä on tehtävässä määritellyn ympyrän yhtälö?

4. Määritellään muuttuja x siten, että piste F sijaitsee pisteessä (x,0). Mikä on tällöin kolmion korkeus AF?

5. Ympyrän kaaren pisteellä C on sama x-koordinaatti, kuin pisteellä F. Mikä on sen y-koordinaatti muuttujan x avulla ilmaistuna? Kuinka saat tästä tiedosta selville kolmion kannan CB pituuden ilmaistuna x:n avulla?

6. Kahdessa edellisessä kohdassa saatiin kolmion korkeus ja kanta ilmaistua x:n avulla. Siispä kolmion alakin voidaan nyt ilmaista muuttujan x avulla. Millainen lauseke kolmion alalle A(x) saadaan?

7. Mikä on suurin arvo, minkä funktio A(x) voi saada? Toisin sanoen, mikä on kolmion ABC suurin mahdollinen ala?

Kannan CB pituus:

Kolmion korkeus AF:

Kolmion ABC ala:

O = (0, 0)
B_1 = Point(xAxis)
c = Circle(O, B_1)
R, S = Intersect(c, xAxis)
d = Semicircle(S, B_1)
A = (7, 0)
C = Point(d)
a = Line(C, yAxis)
D, B = Intersect(c, a)
P, e, a_1, c_1 = Polygon(A, C, B)
F = Midpoint(C, B)
G = Center(c)
T2: -2 y(B) + ""
b = Segment(F, A)
T4: x(A) - x(F) + ""
T6: y(C) (x(A) - x(F)) + ""
E = (1.7110839843749992, 6.939143880208333)
H = (1.7110839843749992, 4.393977864583333)
I = (5.986962890625, 4.373616536458334)
J = (6, 7)
K = (6, 7)
L = (6, 7)
M = (6, 7)
N = (6, 7)
Q, e_1, h, i, n = Polygon(E, H, I, N)