Laatikkotehtävä
Author: Jukka Koivistoinen
Date: 26.7.2007

Seuraavassa on hahmoteltu alla olevaa tehtävää:

"Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan (kanneton) laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset palat pois. Kuinka paljon on nurkista leikattava, jotta saadun laatikon tilavuus olisi mahdollisimman suuri?"

Leikattavan palan kokoa voi muuttaa raahaamalla kuvassa punaista pistettä. Kuvan alla on ideoita, kuinka tehtävää voisi lähteä ratkaisemaan vaiheittain.

Kuvaan on merkitty h:lla leikatun neliön sivun pituutta ja b:llä sitä osuutta, joka jää leikkauksen jälkeen sivusta jäljelle.

1. Mikä on laatikon tilavuus b:n ja h:n avulla ilmaistuna?

2. Miten pahviarkin leveys a voidaan ilmaista h:n ja b:n avulla?

3. Ratkaise saadusta lausekkeesta b.

4. Kun sijoitat b:n ilmaistuna a:n ja h:n avulla tilavuuden lausekkeeseen V, saat pahvilaatikon tilavuudelle lausekkeen, joka riippuu vain yhdestä muuttujasta h.

5. Saatiin siis funktio V(h). Mikä on sen määrittelyväli, kun muistetaan, että h on pituutta ilmaiseva muuttuja?

6. Mikä on suurin tilavuus, joka voidaan saavuttaa?

b

b

b

h

h

a

Leikattavan neliön sivun pituus:

0

\frac{a}{8}

\frac{a}{4}

\frac{3a}{8}

\frac{a}{2}

\frac{5a^3}{64}

\frac{15a^3}{256}

\frac{5a^3}{128}

\frac{5a^3}{256}

(h,V(h))

Laatikon tilavuus:

V

h

O_1 = (8, 6)
A = (4, 10)
q_1 = Segment(A, O_1)
B = (4, 2)
C = (12, 2)
e = Segment(A, C)
E = Point(q_1)
h = Line(E, yAxis)
D = (12, 10)
f = Segment(B, D)
G = Intersect(h, f)
i = Line(G, xAxis)
K = Intersect(i, e)
G_1 = Midpoint(E, K)
j = Line(K, yAxis)
P, a, b, c, d = Polygon(A, B, C, D)
L = Intersect(j, b)
I = Intersect(h, b)
l_1: x(L) - x(I)
l_2: l_1 / (sqrt(2) 1.5)
g = Line(E, xAxis)
F = Intersect(g, f)
H = Intersect(a, g)
J = Intersect(i, a)
M = Intersect(i, c)
N = Intersect(g, c)
O = Intersect(j, d)
Q = Intersect(h, d)
R, o, q, e_1, h_1, j_1, g_1, i_1, l, k, m, n, f_1 = Polygon(O, Q, E, H, J, G, I, L, K, M, N, F)
p = Segment(E, F)
r = Segment(F, K)
s = Segment(K, G)
t = Segment(G, E)
k_1: y(G) - y(I)
S = (4, -3)
T: (x(S) + l_1, y(S))
U: (x(S), y(S) + k_1)
V: (x(S) + l_2, y(S) + l_2)
W: (x(U) + l_2, y(U) + l_2)
Y: (x(T) + l_2, y(T) + l_2)
Z: (x(Y), y(Y) + k_1)
A_1: (x(T), y(T) + k_1)
P_1, v, y, z, w = Polygon(V, Y, Z, W)
Q_1, v_1, s_1, u, w_1 = Polygon(V, S, U, W)
R_1, s_2, t_1, y_1, v_2 = Polygon(S, T, Y, V)
S_1, u_1, a_1, t_2, s_3 = Polygon(U, A_1, T, S)
T_1, a_2, z_1, y_2, t_3 = Polygon(A_1, Z, Y, T)
B_1 = Midpoint(K, M)
C_1 = Midpoint(M, N)
D_1 = Midpoint(S, T)
E_1 = Midpoint(T, Y)
F_1 = Midpoint(Y, Z)
H_1: (x(H), y(O) + 1)
I_1: (x(N), y(O) + 1)
b_1 = Segment(H_1, I_1)
J_1: (x(H_1), y(H_1) + 0.2)
K_1: (x(H_1), y(H_1) - 0.2)
L_1: (x(I_1), y(I_1) + 0.2)
M_1: (x(I_1), y(I_1) - 0.2)
c_1 = Segment(J_1, H_1)
d_1 = Segment(H_1, K_1)
n_1 = Segment(L_1, I_1)
p_1 = Segment(I_1, M_1)
N_1 = Midpoint(H_1, I_1)
T7: "h=" + (k_1 / 8) + "\cdot a"
T8: "V=" + ((1 - k_1 / 4)² k_1 / 8) + " \cdot a^3"
m_1 = Segment(E, G_1)
m_9 = 13.900000000000002
n_9 = 5.800000000000001
f_2 = Function(0.1 (8 - 2 (x - m_9))² (x - m_9) + n_9, m_9, m_9 + 4)
U_1: (k_1 + m_9, f_2(k_1 + m_9))
V_1: (m_9, n_9)
W_1: (m_9 + 5, n_9)
r_1 = Segment(V_1, W_1)
Y_1: (m_9, n_9)
Z_1: (m_9, n_9 + 5)
b_2 = Segment(Y_1, Z_1)
A_2: (m_9, n_9 + 1)
B_2: (m_9, n_9 + 2)
C_2: (m_9, n_9 + 3)
D_2: (m_9, n_9 + 4)
E_2: (m_9 - 0.1, n_9 + 1)
F_2: (m_9 + 0.1, n_9 + 1)
c_2 = Segment(E_2, F_2)
G_2: (m_9 - 0.1, n_9 + 2)
H_2: (m_9 + 0.1, n_9 + 2)
d_2 = Segment(G_2, H_2)
I_2: (m_9 - 0.1, n_9 + 3)
J_2: (m_9 + 0.1, n_9 + 3)
e_2 = Segment(I_2, J_2)
K_2: (m_9 - 0.1, n_9 + 4)
L_2: (m_9 + 0.1, n_9 + 4)
g_2 = Segment(K_2, L_2)
M_2: (m_9 + 1, n_9)
N_2: (m_9 + 2, n_9)
O_2: (m_9 + 3, n_9)
P_2: (m_9 + 4, n_9)
Q_2: (m_9 + 1, n_9 + 0.1)
R_2: (m_9 + 1, n_9 - 0.1)
h_2 = Segment(Q_2, R_2)
S_2: (m_9 + 2, n_9 + 0.1)
T_2: (m_9 + 2, n_9 - 0.1)
i_2 = Segment(S_2, T_2)
U_2: (m_9 + 3, n_9 + 0.1)
V_2: (m_9 + 3, n_9 - 0.1)
j_2 = Segment(U_2, V_2)
W_2: (m_9 + 4, n_9 + 0.1)
Y_2: (m_9 + 4, n_9 - 0.1)
k_2 = Segment(W_2, Y_2)
Z_2 = (14.56158854166667, 5.232031250000002)
A_3 = (20.97760416666667, 5.232031250000002)
B_3 = (20.97760416666667, 2.2437500000000017)
C_3 = (14.56158854166667, 2.2437500000000017)
D_3 = (15.85065104166667, 3.7378906250000017)
E_3 = (19.634765625000004, 3.720703125000001)
n_2 = Segment(A, Q)
p_2 = Segment(O, D)
q_2 = Segment(A, H)
r_2 = Segment(B, J)
d_3 = Segment(B, I)
e_3 = Segment(L, C)
f_3 = Segment(C, M)
g_3 = Segment(N, D)
F_3 = (14.64947916666667, 3.2105468750000017)
G_3 = (17.93072916666667, 3.2105468750000017)
H_3 = (13.213932291666667, 4.382421875000002)
I_3 = (19.45416666666667, 4.382421875000002)
J_3 = (19.45416666666667, 1.3941406250000012)
K_3 = (13.213932291666667, 1.3941406250000012)
P_3, h_3, i_3, j_3, k_3 = Polygon(H_3, I_3, J_3, K_3)
L_3 = (15.264713541666667, 2.9761718750000017)
M_3 = (17.19830729166667, 2.9761718750000017)
m_2 = Segment(L_3, M_3)