Raja-arvo sin(x)/x
Author: Jukka Koivistoinen
Date: 16.7.2007

Tarkoituksena on visualisoida sitä, kuinka funktion sin(x)/x raja-arvo kohdassa nolla muodostuu. Pistettä B voi liikuttaa ympyrän kaaren ensimmäistä neljännestä pitkin. Kuvan alla olevien tehtävien vastaukset saa näkyviin laittamalla kyseistä tehtävää vastaava liukukytkin asentoon 'näytä'.

Tehtävät löytyvät kuvan alta.

Pistettä B liikutettaessa muuttuu kulman x suuruus. Trigonometrian avulla voidaan kolmioiden OAB ja OCD, sekä sektorin OCB ala ilmaista x:n funktiona.

1. Määritä

a) sektorin OCB ala,
b) kolmion OCD ala,
c) kolmion OAB ala.

2. Millaisen epäyhtälön saat vertaamalla näitä aloja toisiinsa? (vastauksen löydät ylhäältä 'Alojen suuruusjärjestys' kohdasta)

3. Kuinka tästä epäyhtälöstä voidaan johtaa raja-arvo funktiolle sin(x)/x kohdassa nolla? (Vihje: muokkaa epäyhtälöä niin, että saat keskelle sin(x)/x tai x/sin(x). Tämän jälkeen kuristuslauseesta on apua.)

1

Kolmion OCD ala

Sektorin OCB ala

piilota

näytä

Alojen suuruusjärjestys

piilota

näytä

\cos(x)

\sin(x)

\tan(x)

Kolmion OAB ala

\frac{1}{2} \sin(x) \cos(x) \leq \frac{x}{2π} \cdot π \leq 
\frac{1}{2} \tan(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

v = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
u = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
t = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
s = 0 (slider from 0 to 1, step 1)
O = (11.8, -2.4)
C = Point(Circle[O, 1])
a = Segment(O, C)
c = Circle(O, C)
b = OrthogonalLine(O, a)
I, J = Intersect(c, b)
d = CircleArc(O, C, J)
B = Point(d)
A: (x(B), y(O))
e = Segment(B, A)
f = Line(C, e)
g = Ray(O, B)
D = Intersect(f, g)
h = Segment(O, B)
i = Segment(B, D)
j = Segment(D, C)
χ = Angle(A, O, B)
k = CircleSector(O, C, B)
T2: "\frac{x}{2π} \cdot π = " + (χ 1 / rad / (2 π) π)
P, g_1, a_1, b_1 = Polygon(O, C, D)
T4: "\frac{1}{2} \tan(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=" + (0.5 sin(χ) / cos(χ))
H = Midpoint(D, C)
Q, e_1, a_2, f_1 = Polygon(O, A, B)
T7: "\frac{1}{2} \sin(x) \cos(x) =" + (0.5 sin(χ) cos(χ))
E = Midpoint(B, O)
F = Midpoint(O, A)
G = Midpoint(A, B)
K: (11.24 - 10 + 10 s, -0.86)
L: (11.3 - 10 + 10 t, -1)
M: (11.31 - 10 + 10 u, -1.14)
N = (11.700000000000001, -0.8)
R = (11.757782847086585, -0.7970590209960926)
S = (11.761645914713538, -1.1988180541992177)
T = (11.700000000000001, -1.2000000000000002)
U, n, r, s_1, t_1 = Polygon(N, R, S, T)
V = (11.578794047037759, -0.7816067504882803)
W = (11.599397074381509, -0.8228128051757803)
Y = (11.700000000000001, -0.8)
Z = (11.663781534830727, -0.8279635620117178)
w = Vector(Y, Z)
A_1 = (10.700000000000001, -0.8)
B_1 = Point(w)
C_1 = (11.700000000000001, -0.9)
D_1 = (10.700000000000001, -0.9)
P_1, a_3, b_2, c_1, d_1 = Polygon(A_1, B_1, C_1, D_1)
E_1 = (10.698014628092446, -0.9567324829101553)
F_1 = (11.69983683268229, -0.9593078613281241)
G_1 = (11.69983683268229, -1.0597476196289053)
H_1 = (10.698014628092446, -1.0571722412109366)
Q_1, e_2, f_2, g_2, h_1 = Polygon(E_1, F_1, G_1, H_1)
I_1 = (10.700000000000001, -1.1)
J_1 = (11.700000000000001, -1.1)
K_1 = (11.700000000000001, -1.2000000000000002)
L_1 = (10.700000000000001, -1.2000000000000002)
R_1, i_1, j_1, k_1, l_1 = Polygon(I_1, J_1, K_1, L_1)
M_1: (12 - 10 + 10 v, -0.94)
N_1 = (11.573643290201822, -0.7790313720703116)
O_1 = (11.594246317545572, -0.8150866699218741)
S_1 = (11.797701212565103, -0.784182128906249)
T_1 = (12.785358835856115, -0.7893328857421864)
U_1 = (12.785358835856115, -1.2026811218261708)
V_1 = (11.8, -1.2000000000000002)
W_1, s_2, t_2, u_1, v_1 = Polygon(S_1, T_1, U_1, V_1)
Y_1 = (12.531684061686196, -0.897498779296874)
Z_1 = (12.531684061686196, -0.9979385375976554)
A_2 = (12.600000000000001, -1)
B_2 = (12.600000000000001, -0.9)
P_2, y_1, z_1, a_4, b_3 = Polygon(Y_1, Z_1, A_2, B_2)
C_2 = (12.516231791178384, -0.8408404541015616)
D_2 = (12.531684061686196, -0.8949234008789053)
l = Vector(C_2, D_2)
E_2 = (12.603794657389322, -0.835689697265624)
F_2 = (12.600000000000001, -0.9)
m = Vector(E_2, F_2)
G_2 = (11.680521494547522, -0.7507022094726551)
H_2 = (11.700000000000001, -0.8)
z = Vector(G_2, H_2)
I_2 = (11.792550455729163, -0.7661544799804676)
J_2 = (11.75391977945963, -0.8047851562499989)
p = Vector(I_2, J_2)