Laatikon suurin tilavuus

by Mikko Matias Saarimäki last modified Aug 17, 2009 12:51 PM

Approbatur 1 B

Laatikon suurin tilavuus

Hahmotellaan seuraavan tehtävän ratkaisemista: Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan (kanneton) laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan samankokoiset ja neliön muotoiset palat pois. Kuinka paljon on nurkista leikattava, jotta saadun laatikon tilavuus olisi mahdollisimman suuri?

Kuvassa on graafinen hahmotelma tehtävästä. Leikattavan palan kokoa voi muuttaa raahaamalla kuvassa punaista pistettä. Kuvan alla on ideoita, kuinka tehtävän voi ratkaista vaiheittain.

Valitettavasti GeoGebra-sovelma ei käynnisty. Tarkista, että Java 1.4.2 (tai uudempi) on asennettuna ja käyttöön otettuna. − Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (klikkaa tästä Javan asentamiseksi − click here to install Java now)

Luotu GeoGebralla. Jukka Koivistoinen 2007.

Kuvaan on merkitty h:lla leikatun neliön sivun pituutta ja b:llä sitä osuutta, joka jää leikkauksen jälkeen sivusta jäljelle.

Tehtäviä

  1. Kuvan punaista pistettä siirtämällä voit muuttaa leikattavien palojen suuruutta. Seuraamalla tilavuuden numeerista arvoa ja tilavuusfunktion kuvaajaa arvioi, milloin tilavuus olisi suurimmillaan.

Seuraavassa on ohjeita tehtävän tarkkaan ratkaisemiseen.

  1. Mikä on laatikon tilavuus b:n ja h:n avulla ilmaistuna?
  2. Miten pahviarkin leveys a voidaan ilmaista h:n ja b:n avulla?
  3. Ratkaise saadusta lausekkeesta b.
  4. Kun sijoitat b:n ilmaistuna a:n ja h:n avulla tilavuuden lausekkeeseen V, saat pahvilaatikon tilavuudelle lausekkeen, joka riippuu vain yhdestä muuttujasta h.
  5. Saatiin siis funktio V(h). Mikä on sen määrittelyväli, kun muistetaan, että h on pituutta ilmaiseva muuttuja? (Kuvassa on funktion V(h) kuvaaja.)
  6. Mikä on suurin tilavuus, joka voidaan saavuttaa? Tämän ratkaisemiseksi derivoi tilavuusfunktio ja selvitä derivaatan nollakohta!