Skip to content. | Skip to navigation

Jyväskylän yliopiston Koppa

HUOM! Kopan käyttö päättyy 31.7.2024! Lue lisää.


Navigation

Kurssikirjan sisältö

by saarimak — last modified Oct 06, 2009 12:14 PM
Tämä matematiikan kirja on tarkoitettu matemaattista analyysia käsittelevän perusopintokurssin opiskeluun. Kirjassa käsitellään yhden muuttujan reaalifunktioiden analyysia: reaalilukujen ja -funktioiden perusominaisuuksia, raja-arvo ja jatkuvuus, derivaatta ja sen käyttö funktion käyttäytymisen selvittämisessä, eksponentti- ja logaritmifunktiot, hyperbelifunktiot ja arkusfunktiot.

Mikko Saarimäki: Reaalifunktion analyysia

Alkusanat

I Reaaliluvuista ja -funktioista

   1 Joukko-opin merkintöjä

   2 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuus

        Induktioaksiooma ja -päättely

   3 Rationaali- ja reaaliluvuista

        Rationaaliluku
        Algebrallinen luku
        Irrationaaliluku
        Desimaaliluku
        Rationaali- ja reaalilukujen aksioomat
        Ylä- ja alaraja sekä supremum ja infimum
        Reaalilukujen täydellisyys
        Isojen ja pienten rationaalilukujen olemassaolo
        Rationaalilukujen tiheys
        Reaaliakselin välit

   4 Koordinaattitaso

        Koordinaattiaso ja sen pisteiden etäisyys
        Suora tasossa

   5 Reaalifunktio ja polynomi

        Funktion määrittely sekä joukon kuva ja alkukuva
        Bijektio ja käänteiskuvaus
        Reaalifunktio
        Reaalifunktion kuvaaja
        Itseisarvofunktio
        Potenssi- ja juurifunktio sekä rationaalipotenssit
        Polynomifunktio
        Rationaalifunktio

   6 Trigonometriset funktiot

        Sini, kosini, tangentti ja kotangentti
        Sinin ja kosinin muokkaussääntöjä

   7 Kompleksiluvuista

        Abstrakti määrittely
        Napakoordinaattiesitys
        Algebran peruslause

II Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

   1 Lukujono ja sen raja-arvo

        Lukujonon määrittely sekä sen monotonisuus ja rajoittuneisuus
        Lukujonon raja-arvo
        Raja-arvon rationaaliset laskusäännöt

   2 Funktion raja-arvo

        Rajatilanteita
        Toispuoleiset raja-arvot
        Raja-arvon kuristaminen
        Funktion raja-arvo
        Raja-arvojen rationaaliset laskusäännöt
        Rationaalifunktioiden ja trigonometristen funktioiden raja-arvot
        Trigonometristen funktioiden raja-arvot
        Raja-arvon jonokarakterisointi
        Epäoleelliset raja-arvot
        Epämääräiset raja-arvotilanteet

   3 Funktion jatkuvuus

        Jatkuvuus pisteessä
        Rationaalisten lausekkeitten ja yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus
        Jatkuvuus välillä

   4 Jatkuvien funktioiden väliarvolause

        Bolzanon lause nollakohdasta
        Jatkuvien funktioiden väliarvolause

III Derivaatta

   1 Tangentti, erotusosamäärä ja derivaatta

        Tangentti
        Erotusosamäärä ja derivaatta

   2 Differentiaalikehitelmä ja derivoituvuus

        Differentiaalikehitelmä
        Differentiaali ja tangenttiarvio
        Derivoituvuus välillä

   3 Derivaatan määrääminen

        Rationaaliset laskusäännöt derivaatalle
        Rationaalifunktion derivaatta
        Yhdistetyn funktion derivaatta
        Käänteisfunktion derivaatta
        Trigonometristen funktioiden derivaatat
        Yhteenveto derivaatan määräämisestä

   4 Korkeammat derivaatat ja implisiittinen derivointi

        Korkeammat derivaatat
        Implisiittifunktio
        Implisiittifunktion derivointi

IV Derivaatan sovelluksia

   1 Differentiaalilaskennan väliarvolause

        Rollen lause derivaatan nollakohdasta
        Differentiaalilaskennan väliarvolause

   2 Väliarvolauseen sovelluksia

        Raja-arvon määrääminen l'Hospitalin säännöllä
        Virheenarviointi

   3 Monotonisuus ja derivaatta

        Monotonisuus
        Derivoituvan funktion monotonisuustesti

   4 Monotonisuus ja käänteisfunktio

        Käänteisfunktio ja sen jatkuvuus
        Käänteiskuvauksen derivoituvuus

V Funktion käyttäytyminen

   1 Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot

        Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot
        Derivoituvan funktion ääriarvotesti
        Yhteenveto ääriarvojen etsinnästä:
        Toinen ääriarvotesti

   2 Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä

        Harjoitustehtäviä

   3 Kuperuus, käännepiste ja asymptootti

        Kuperuus
        Käännepiste
        Asymptootit
        Yhteenveto funktion käyttäytymisen selvittämisestä

   4 Yhtälön likimääräinen ratkaiseminen

        Graafinen ratkaiseminen
        Numeerinen ratkaiseminen ja Newtonin menetelmä

VI Alkeisfunktioita

   1 Eksponenttifunktio

        Yleinen eksponenttifunktio
        Neperin luku e
        Eksponenttifunktio
        Eksponenttifunktion kasvunopeus

   2 Logaritmifunktio

        Luonnollinen logaritmifunktio
        Yleinen eksponenttifunktio ja logaritmifunktio

   3 Hyperbelifunktiot ja areafunktiot

        Hyperbelifunktiot
        Areafunktiot

   4 Arkusfunktiot

        Arkussini- ja kosini
        Arkustangentti- ja kotangentti

Lähteitä ja kirjallisuutta

Hakemisto