Kurssikirjan sisältö
Mikko Saarimäki: Reaalifunktion analyysia
Alkusanat
I Reaaliluvuista ja -funktioista
1 Joukko-opin merkintöjä
2 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuus
Induktioaksiooma ja -päättely
3 Rationaali- ja reaaliluvuista
Rationaaliluku
Algebrallinen luku
Irrationaaliluku
Desimaaliluku
Rationaali- ja reaalilukujen aksioomat
Ylä- ja alaraja sekä supremum ja infimum
Reaalilukujen täydellisyys
Isojen ja pienten rationaalilukujen olemassaolo
Rationaalilukujen tiheys
Reaaliakselin välit
4 Koordinaattitaso
Koordinaattiaso ja sen pisteiden etäisyys
Suora tasossa
5 Reaalifunktio ja polynomi
Funktion määrittely sekä joukon kuva ja alkukuva
Bijektio ja käänteiskuvaus
Reaalifunktio
Reaalifunktion kuvaaja
Itseisarvofunktio
Potenssi- ja juurifunktio sekä rationaalipotenssit
Polynomifunktio
Rationaalifunktio
6 Trigonometriset funktiot
Sini, kosini, tangentti ja kotangentti
Sinin ja kosinin muokkaussääntöjä
7 Kompleksiluvuista
Abstrakti määrittely
Napakoordinaattiesitys
Algebran peruslause
II Funktion raja-arvo ja jatkuvuus
1 Lukujono ja sen raja-arvo
Lukujonon määrittely sekä sen monotonisuus ja rajoittuneisuus
Lukujonon raja-arvo
Raja-arvon rationaaliset laskusäännöt
2 Funktion raja-arvo
Rajatilanteita
Toispuoleiset raja-arvot
Raja-arvon kuristaminen
Funktion raja-arvo
Raja-arvojen rationaaliset laskusäännöt
Rationaalifunktioiden ja trigonometristen funktioiden raja-arvot
Trigonometristen funktioiden raja-arvot
Raja-arvon jonokarakterisointi
Epäoleelliset raja-arvot
Epämääräiset raja-arvotilanteet
3 Funktion jatkuvuus
Jatkuvuus pisteessä
Rationaalisten lausekkeitten ja yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus
Jatkuvuus välillä
4 Jatkuvien funktioiden väliarvolause
Bolzanon lause nollakohdasta
Jatkuvien funktioiden väliarvolause
III Derivaatta
1 Tangentti, erotusosamäärä ja derivaatta
Tangentti
Erotusosamäärä ja derivaatta
2 Differentiaalikehitelmä ja derivoituvuus
Differentiaalikehitelmä
Differentiaali ja tangenttiarvio
Derivoituvuus välillä
3 Derivaatan määrääminen
Rationaaliset laskusäännöt derivaatalle
Rationaalifunktion derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktion derivaatta
Trigonometristen funktioiden derivaatat
Yhteenveto derivaatan määräämisestä
4 Korkeammat derivaatat ja implisiittinen derivointi
Korkeammat derivaatat
Implisiittifunktio
Implisiittifunktion derivointi
IV Derivaatan sovelluksia
1 Differentiaalilaskennan väliarvolause
Rollen lause derivaatan nollakohdasta
Differentiaalilaskennan väliarvolause
2 Väliarvolauseen sovelluksia
Raja-arvon määrääminen l'Hospitalin säännöllä
Virheenarviointi
3 Monotonisuus ja derivaatta
Monotonisuus
Derivoituvan funktion monotonisuustesti
4 Monotonisuus ja käänteisfunktio
Käänteisfunktio ja sen jatkuvuus
Käänteiskuvauksen derivoituvuus
V Funktion käyttäytyminen
1 Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot
Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot
Derivoituvan funktion ääriarvotesti
Yhteenveto ääriarvojen etsinnästä:
Toinen ääriarvotesti
2 Pienin ja suurin arvo suljetulla välillä
Harjoitustehtäviä
3 Kuperuus, käännepiste ja asymptootti
Kuperuus
Käännepiste
Asymptootit
Yhteenveto funktion käyttäytymisen selvittämisestä
4 Yhtälön likimääräinen ratkaiseminen
Graafinen ratkaiseminen
Numeerinen ratkaiseminen ja Newtonin menetelmä
VI Alkeisfunktioita
1 Eksponenttifunktio
Yleinen eksponenttifunktio
Neperin luku e
Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktion kasvunopeus
2 Logaritmifunktio
Luonnollinen logaritmifunktio
Yleinen eksponenttifunktio ja logaritmifunktio
3 Hyperbelifunktiot ja areafunktiot
Hyperbelifunktiot
Areafunktiot
4 Arkusfunktiot
Arkussini- ja kosini
Arkustangentti- ja kotangentti