Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

tekijä: Mikko Johannes Parviainen Viimeisin muutos keskiviikko 27. joulukuuta 2017, 20.59

MATS230 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, syksy 2017, 9 op
Partial differerential equations, 9 cr, fall 2017

Announcements

 

Matlab and numerics part in the lecture note is not included in the course or final exams. 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

*There are now sketches for solutions available in the local library MaD382.

*No lectures or exercises on 20.-24.11. 

*Two last demos (Demo 11, Demo 12) are computer demos using Matlab. Answers are to be returned and each exercise is graded on 0-1 scale. Participation at the demo session gives you 2 additional points. 

There will be about a week to finish the report after the demo session. Demo's are in computer classroom  MaD353, where you can work with the exercises, and the lecturer will be there to help you.

Demo questions are published closer to the session. 

Sisältö

Osittaisdifferentiaaliyhtälö (ODY) on yhtälö, jossa tyypillisesti esiintyy tuntemattomana kahden tai useamman muuttujan funktio, ja sen osittaisderivaatat. Osittaisdifferentiaaliyhtälöillä on lukemattomia sovelluksia geometriassa, stokastiikassa, rahoitusmatematiikassa, fysiikassa ja kuvankäsittelyssä. 

Kurssi sisältää johdatuksen osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Kurssilla tutustutaan ratkaisujen esityslauseisiin lineaarisille yhtälöille, sekä käsitellään esimerkkeinä kuljetusyhtälö, Laplace-yhtälö, lämpöyhtälö ja aaltoyhtälö. Tyypillisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa käsiteltäviä kysymyksiä ovat ratkaisun olemassaolo, yksikäsitteisyys, stabiilius ja säännöllisyys. Lopuksi tutustutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerisen ratkaisemisen alkeisiin käyttäen Matlab-ohjelmistoa.

Opetus

Luennot ti ja ke 12.15-14 salissa MaD381 alkaen ti 5.9. Harjoitusryhmä ti 14.15-16 luokassa MaD355 alkaen ti 12.9, paitsi kaksi viimeistä harjoitusta 28.11 ja 5.12 ti klo 14.15-16 mikroluokassa MaD353. 

Kurssin luennoi ja harjoitukset pitää Mikko Parviainen, MaD306.

Korppi

https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=216483 

Lectures

Lecturenote (week 1-12)

  • 1. week: Introduction of PDEs, derivation of transport equation, classifications of PDEs, Examples: minimal surface equation, Hamilton-Jacobi equation and its connections to optimal control  
  • 2. week: first order linear equations with constant and non constant coefficients, transport equation, derivation of Laplace equation, fundamental solution
  • 3. week: Solution to Poisson problem in Rn, standard mollification, mean value property, maximum principles, uniqueness to the Dirichlet problem, smoothness of harmonic functions, derivative estimates 
  • 4. week: Liouville's theorem, uniqueness up to a constant in Rn, real analyticity, Harnack's inequality, Green functions in the half plane
  • 5. week: Green's function for a ball, variational method for the Poisson problem, eigenvalue problem, Rayleigh quotient, heat equation: time evolution of diffusion, fundamental solution
  • 6. week: Solution to the Cauchy problem to the heat equation, solution to the inhomogeneous Cauchy problem - Duhamel's principle, max/min principles for the heat equation in bounded domain, max/min principles for the Cauchy problem with the growth condition 
  • 7. week: Heat equation: backward uniqueness, regularity. Wave equation: physical interpretation, n=1 d'Alembert formula, reflection method.
  • 8. week: Wave equation: Spherical means, Euler-Poisson-Darboux equation, Kirchhoff's formula n=3, Poisson formula n=2, inhomogeneous problem using Duhamel's principle, conservation of energy.
  • 9. week: finite speed of propagation for wave equation using energy method, Fourier series: L^2, complex form, Pythagoras theorem, best approximation property, L^2 convergence, Parseval, periodicity, real form, other intervals, and odd and even functions
  • 10. week: separation of variables, Fourier transform, solving PDEs using Fourier transform
  • 11. week: wave equation and Fourier transform, Plancherel theorem, Fourier transform on L^2, some nonlinear examples of separation of variables, basic Matlab usage.
  • 12. week: Matlab usage: M-files and programming. Discretization of the PDEs. Examples of solving the Laplace and wave equation by Matlab.   

Kurssin suorittaminen

Kurssitentti ja harjoitustehtävät, tai vaihtoehtoisesti lopputentti. 

 Harjoituksissa merkataan tehdyt harjoitukset listaan ja joku opiskelijoista tekee tehtävän taululle. Harjoituksista saa lisäpisteitä kurssitenttiin 0-7p seuraavasti

25% tehtävistä -> 1 pistettä
....
85% tehtävistä -> 7 pistettä

Kaksi viimeistä harjoitusta ovat tietokoneharjoituksia jotka tehdään Matlabilla, joiden tehtävät palautetaan ja arvostellaan asteikolla 0-1. Läsnäolosta saa 2 pistettä.

Completion mode

 

Course exam and exercises, or alternatively final exam.

In the exercises, the exercises are denoted on the list, and one of the students works out the exercise on the board. You get points from exercises to the course exam according to the following:

25% exercises -> 1 point
....
85% exercises -> 7 points

Two last exercises are computer exercises using Matlab, which are to be returned and each exercise is graded on 0-1 scale. Participation gives you 2 points.

Exam days

Exams on  Th 7.12 or Mon 18.12.

Exercises

Materiaali

Kurssi seuraa pääasiassa kirjan Evans: Partial Differential Equations alkuosaa. 

Lisälukemisena voi käyttää useita eri osittaisdifferentiaaliyhtälöiden oppikirjoja ja luentomonisteita esim.

  • E. DiBenedetto: Partial differential equations
  • W. Strauss: Partial differential equations. An introduction.
  • J. Kinnunen: Partial differential equations