Kurssin esittely

MATP152 Approbatur 1 A (4 op)

Opintojen yleistavoite

Lineaarialgebran ja analyyttisen geometrian alueelta opiskelijan täytyy ymmärtää, milloin tarkasteltava ilmiö tai probleema on luonteeltaan lineaarinen, osata pukea se koordinaatistosta riippuvaan muotoon, ja osata ratkaista yksinkertaisimpia tilanteita. Hänen tulee myös nähdä geometrinen yhteys suoriin ja tasoihin ja niiden yleistyksiin.

Toteutus

Kurssi toteutetaan pitämällä 24 h luentoja, 12 h ohjauksia ja 12 h harjoituksia. Osa harjoitustehtävistä jätetään kirjallisesti ja ne arvioidaan. Kurssiin kuuluu loppukoe. Kurssin suoritus tapahtuu siis aktiivisesti harjoituksiin osallistumalla, kirjalliset harjoitukset tekemällä ja loppukokeen onnistuneella suorittamisella. Kurssin voi myös suorittaa pelkällä tentillä.

Suoritustapa

Harjoituksiin osallistuminen, kirjalliset tehtävät ja loppukoe, tai pelkkä tentti.

Ajoitus

Syksyllä syys-lokakuussa.

Kirjallisuus

Kurssikirja:
Saarimäki: Vektoreita ja yhtälöitä. Jyväskylän yliopiston avoin yliopisto 2005 (Myynti: KampusKirja).

Oheiskirjallisuutta:
Lahtinen & Pehkonen: Matematiikkaa soveltajille 1 (luvut 1 ja 6), Kirjayhtymä 1991.
Lay: Linear algebra and its applications. Addison-Wesley 2003.

Sisältö yleisesti

Lineaarialgebraa ja analyyttistä geometriaa: Tarkastellaan reaalista vektoriavaruutta ja sen geometriaa, tutustutaan matriisilaskentaan ja lineaarialgebraan sekä sovelletaan tietoutta analyyttiseen geometriaan.

Sisältö

1. Joukko-opin merkintöjä
2. Vektoriavaruus: suora, taso, avaruus
   • Taso R²
   • Suora R
   • Avaruus R³
   • Yleinen avaruus Rⁿ
   • Funktioavaruuksista
3. Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen
   • Graafinen ratkaiseminen
   • Eliminointi- ja sijoitusmenettely
   • Gaussin ja Jordanin menetelmä
4. Lineaarinen riippuvuus, virittäminen ja kanta
   • Lineaarinen riippuvuus
   • Virittäminen
   • Kanta
   • Ulottuvuus
   • Koordinaattiesitys
5. Sisätulo
   • Sisätulo, vektorien kohtisuoruus ja pituus
   • Sisätulon ja normin ominaisuuksia
   • Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
   • Vektorin projektio
6. Lineaarikuvaus
   • Kuvaus
   • Lineaarikuvaus
   • Ydin ja injektiivisyys
   • Aliavaruuden ulottuvuus ja dimensiolause
7. Lineaarikuvauksen matriisi
   • Lineaarikuvauksen matriisi
   • Matriisien yhtäsuuruus
   • Matriisien summa ja monikerta
8. Matriisien tulo, käänteismatriisi ja transpoosi
   • Matriisien tulo
   • Käänteismatriisi
   • Käänteismatriisin laskeminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä
   • Transponoitu matriisi
   • Ortogonaalinen matriisi
9. Kannanvaihto
10. Determinantti
    • Kehityssääntö
    • Determinantin ominaisuuksia
    • Determinantin laskeminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä
    • Vektoritulo kolmiulotteisessa avaruudessa R³
11. Ominaisarvo ja -vektori
    • Yleinen määrittely
    • Symmetrisen matriisin tilanne
    • Mathematica-esimerkki
12. Neliömuoto
    • Tasa-asteinen neliömuoto
    • Yleinen toisen asteen yhtälö
13. Kokoomalause

Opintojen arviointi

Ohjauksissa suoritetaan opiskelua edistävää ja neuvovaa arviointia, harjoituksissa taas opiskelija saa palautetta omista ja muiden suorituksista ja saa siten pohjan etenemisensä ja suoritustasonsa itsearviointiin.

Opintojakson toteutuksen aikana tehdään oppimistulosten arviointia ja sen perusteella tehdään sisältövalintoja sekä kehitetään ja muokataan opetusmenetelmiä ja kohdennetaan ohjausta ja neuvontaa vaikeammiksi todettujen asioiden oppimiseksi.

Kurssin suorituksen arviointi tapahtuu harjoituksiin osallistumisen, kirjallisten harjoitustehtävien ja loppukokeen perusteella. Harjoituksiin osallistumisen painoarvo arvioinnissa on 1/10, kirjallisten harjoitusten painoarvo on 3/10 ja loppukokeen paino on 6/10. Yhdistetty kokonaisarvostelu tehdään asteikolla 1−5.