MATA122 Lineaarinen algebra ja geometria 2

Course contents

Sisältö

Kannanvaihto, ominaisarvoteoriaa, symmetriset matriisit, neliömuodot sekä toisen asteen yhtälöt, kartioleikkaukset ja neliöpinnat. Reaaliset vektoriavaruudet, kanta ja dimensio. Lineaarikuvaukset, niitä vastaavat matriisit ja dimensiolause. Sisätuloavaruus, adjungaatti ja pns-ratkaisu.

Opintojaksolla tutustutaan reaalisiin vektoriavaruuksiin ja niiden välisiin lineaarikuvauksiin. Kurssin LAG1 tietoja täydennetään ominaisarvoteorialla, johon liittyen tarkastellaan matriisien diagonalisointia ja symmetrisiä lineaarikuvauksia. Lisäksi harjoitellaan hahmottamaan kurssin sisältöjä geometrisesti GeoGebra-ohjelmalla.

Suoritustavat

Kurssitentti. Kurssitenttiin saa lisäpisteitä tehdyistä harjoitustehtävistä opetusohjelmassa ilmoitettavan laskutavan mukaisesti.

Opintojakson vaihtoehtoisena suoritustapana on lopputentti.

Arviointiperusteet

Opintojakson arvosana määräytyy
a) kurssitentin pistemäärän ja laskuharjoitushyvitysten summan
TAI
b) lopputentin pistemäärän
perusteella.

Hyväksyttyyn suoritukseen vaaditaan vähintään puolet maksimipistemäärästä.

Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija
- osaa antaa esimerkkejä reaalisista vektoriavaruuksista ja lineaarikuvauksista
- hallitsee vektoriavaruuden ja alivaruuden määritelmät ja osaa tutkia, onko annettu joukko vektoriavaruus
- hallitsee lineaarikuvauksen määritelmän ja osaa tutkia, onko annettu kuvaus lineaarikuvaus
- osaa päätellä, onko annettu vektorijoukko lineaarisesti riippumaton vai riippuva
- tuntee kannan ja dimension määritelmät ja osaa soveltaa dimensiolausetta
- tuntee äärellisulotteisten vektoriavaruuksien välisten lineaarikuvausten ja matriisien välisen yhteyden ja osaa käyttää tätä yhteyttä
- osaa laskea, miten kantojen vaihtaminen muuttaa vektorin koordinaatteja ja lineaarikuvausta vastaavaa matriisia
- tuntee lineaarikuvauksen ja neliömatriisin ominaisarvojen, -vektoreiden ja -avaruuksien määritelmät ja osaa määrittää nämä annetulle kuvaukselle ja matriisille
- osaa tutkia, onko annettu neliömatriisi diagonalisoituva
- tuntee yleisen sisätuloavaruuden määritelmän ja osaa tutkia, onko annettu kuvaus sisätulo
- osaa selvittää sisätulon avulla vektorijoukon ortogonaalisuuden ja ortonormaalisuuden
- tuntee symmetrisen lineaarikuvauksen ja matriisin määritelmät ja symmetrisyyden merkityksen ominaisarvojen ja kantojen etsinnässä sekä diagonalisoinnissa
- osaa soveltaa symmetriseen matriisiin liittyvää neliömuotoa kartioleikkausten ja neliöpintojen tunnistamiseen ja hahmottamiseen.
- osaa käyttää Geogebra-ohjelmistoa kurssin käsitteiden geometrisen hahmottamisen tukena.

32h luentoja, 8 harjoituskertaa.