Lineaarinen algebra ja geometria 1
Kurssin Lineaarinen algebra ja geometria 1 esittely
MATP121 (7 op)
Opintojen yleistavoite
Kehitetään sekä ohjatun että omatoimisen harjoittelun kautta valmiutta hahmottaa ja ymmärtää suoraviivaisia geometrisia käsitteitä, osata käyttää johdettuja geometrisia ja algebrallisia tuloksia sekä yhdistää hahmotus ja osaaminen tarkkaan päättelyyn, sekä kyetä tekemään matemaattisia peruspäättelyjä, kuten suora ja epäsuora päättely, induktiotodistus ja mallikuvaperiaate.
Toteutus
Kurssi toteutetaan pitämällä 54 h luentoja (44 h luentoja ja 10 h kertausta ja täydennystä), 22 h ohjauksia ja 22 h harjoituksia. Kirjallisia oppimistehtäviä on kahdet, jotka jätetään kirjallisesti arvioitaviksi. Kurssiin kuuluu kaksi välikoetta.
Suoritustapa
Harjoitukset, kirjalliset tehtävät ja kaksi välikoetta. Vaihtoehtoisesti pelkkä loppukoe.
Ajoitus
Syyslukukaudella.
Kirjallisuus
Kurssikirja:
Mikko Saarimäki: Vektorilaskentaa euklidisissa avaruuksissa (2012).
Oheiskirjallisuutta:
Veikko T. Purmonen: Lineaarinen algebra ja geometria 1 (2009);
Grossman: Elementary linear algebra;
Lay: Linear algebra and its applications;
Leon: Linear algebra with applications.
Sisältö yleisesti
Eukleideen avaruuden lineaarinen ja geometrinen struktuuri: Vektoreiden virittämä aliavaruus ja vektoreiden lineaarinen riippuvuus. Aliavaruus sekä sen kanta ja dimensio. Vektorien ja aliavaruuksien ortogonaalisuus, ortogonaaliprojektio sekä kannan ortogonalisointi Gramin ja Schmidtin menetelmällä. Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Lineaarikuvaus geometrisesti sekä sitä algebrallisesti vastaavan matriisin ja lineaarisen yhtälöryhmän yhteys. Dimensiolause ja yhdistetyt lineaarikuvaukset. Matriisien perusominaisuudet sekä tulomatriisi, käänteismatriisi ja transponoitu matriisi. Determinantin geometrinen tulkinta, kehityssääntö, perusominaisuudet ja laskeminen sekä matriisin liittomatriisi.
Sisältö
I Vektoriavaruus
- Joukko-opin merkintöjä
- Luonnolliset luvut ja täydellinen induktio
- Eukleideen avaruus
- Lineaarikombinaatio, virittäminen ja aliavaruus
- Eukleideen avaruuden geometrinen rakenne
II Lineaarinen yhtälöryhmä
- Lineaarinen yhtälöryhmä
- Laajennettu kerroinmatriisi ja porrasmuoto
- Gaussin ja Jordanin menetelmä
- Homogeeninen yhtälöryhmä
III Lineaarinen riippuvuus, kanta ja dimensio
- Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus
- Kanta ja dimensio
IV Lineaarikuvaus
- Kuvausten peruskäsitteitä
- Lineaarikuvaus
- Lineaarikuvaus ja kanta
- Lineaarikuvauksen ydin ja kuva
- Lineaarinen bijektio, käänteiskuvaus ja isomorfismi
V Matriisi
- Lineaarikuvauksen matriisi
- Matriisien tulo
- Käänteismatriisi
- Käänteismatriisin laskeminen
- Alkeismatriisit
- Transponoitu matriisi
VI Determinantti
- Kääntyvyysmittari
- Determinantin rekursiivinen määrittely
- Alkeismuunnokset ja determinantti
- Tulon ja transpoosin determinantti
- Kehityssäännöt
- Determinantin multilineaarisuus
- Liittomatriisi
- Bijektiot ja alkeiskuvaukset
VII Ortogonaalisuus
- Kohtisuoruus ja kanta
- Ortogonaalikomplementti ja -projektio
- Gramin ja Schmidtin menetelmä
- Isometria
- Isometrian karakterisointeja
Opintojen arviointi
Kurssin suorituksen arviointi tapahtuu harjoitusaktiivisuuden, kirjallisten tehtävien ja välikokeiden perusteella.