Lineaarinen algebra ja geometria 1

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos tiistai 17. kesäkuuta 2014, 09.18

Kurssin Lineaarinen algebra ja geometria 1 esittely

MATP121  (7 op)

Opintojen yleistavoite

Kehitetään sekä ohjatun että omatoimisen harjoittelun kautta valmiutta hahmottaa ja ymmärtää suoraviivaisia geometrisia käsitteitä, osata käyttää johdettuja geometrisia ja algebrallisia tuloksia sekä yhdistää hahmotus ja osaaminen tarkkaan päättelyyn, sekä kyetä tekemään matemaattisia peruspäättelyjä, kuten suora ja epäsuora päättely, induktiotodistus ja mallikuvaperiaate.

Toteutus

Kurssi toteutetaan pitämällä 54 h luentoja (44 h luentoja ja 10 h kertausta ja täydennystä), 22 h ohjauksia ja 22 h harjoituksia. Kirjallisia oppimistehtäviä on kahdet, jotka jätetään kirjallisesti arvioitaviksi. Kurssiin kuuluu kaksi välikoetta.

Suoritustapa

Harjoitukset, kirjalliset tehtävät ja kaksi välikoetta. Vaihtoehtoisesti pelkkä loppukoe.

Ajoitus

Syyslukukaudella.

Kirjallisuus

Kurssikirja:
Mikko Saarimäki: Vektorilaskentaa euklidisissa avaruuksissa (2012).

Oheiskirjallisuutta:
Veikko T. Purmonen: Lineaarinen algebra ja geometria 1 (2009);
Grossman: Elementary linear algebra; 
Lay: Linear algebra and its applications; 
Leon: Linear algebra with applications.

Sisältö yleisesti

Eukleideen avaruuden lineaarinen ja geometrinen struktuuri: Vektoreiden virittämä aliavaruus ja vektoreiden lineaarinen riippuvuus. Aliavaruus sekä sen kanta ja dimensio. Vektorien ja aliavaruuksien ortogonaalisuus, ortogonaaliprojektio sekä kannan ortogonalisointi Gramin ja Schmidtin menetelmällä. Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Lineaarikuvaus geometrisesti sekä sitä algebrallisesti vastaavan matriisin ja lineaarisen yhtälöryhmän yhteys. Dimensiolause ja yhdistetyt lineaarikuvaukset. Matriisien perusominaisuudet sekä tulomatriisi, käänteismatriisi ja transponoitu matriisi. Determinantin geometrinen tulkinta, kehityssääntö, perusominaisuudet ja laskeminen sekä matriisin liittomatriisi.

Sisältö

I  Vektoriavaruus

  1. Joukko-opin merkintöjä
  2. Luonnolliset luvut ja täydellinen induktio
  3. Eukleideen avaruus  
  4. Lineaarikombinaatio, virittäminen ja aliavaruus
  5. Eukleideen avaruuden geometrinen rakenne

II  Lineaarinen yhtälöryhmä

  1. Lineaarinen yhtälöryhmä
  2. Laajennettu kerroinmatriisi ja porrasmuoto
  3. Gaussin ja Jordanin menetelmä
  4. Homogeeninen yhtälöryhmä

III  Lineaarinen riippuvuus, kanta ja dimensio

  1. Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus
  2. Kanta ja dimensio

IV  Lineaarikuvaus

  1. Kuvausten peruskäsitteitä
  2. Lineaarikuvaus
  3. Lineaarikuvaus ja kanta
  4. Lineaarikuvauksen ydin ja kuva
  5. Lineaarinen bijektio, käänteiskuvaus ja isomorfismi

V  Matriisi

  1. Lineaarikuvauksen matriisi
  2. Matriisien tulo
  3. Käänteismatriisi
  4. Käänteismatriisin laskeminen
  5. Alkeismatriisit
  6. Transponoitu matriisi

VI  Determinantti

  1. Kääntyvyysmittari
  2. Determinantin rekursiivinen määrittely
  3. Alkeismuunnokset ja determinantti
  4. Tulon ja transpoosin determinantti
  5. Kehityssäännöt
  6. Determinantin multilineaarisuus
  7. Liittomatriisi
  8. Bijektiot ja alkeiskuvaukset

VII  Ortogonaalisuus

  1. Kohtisuoruus ja kanta
  2. Ortogonaalikomplementti ja -projektio
  3. Gramin ja Schmidtin menetelmä
  4. Isometria
  5. Isometrian karakterisointeja

Opintojen arviointi

Kurssin suorituksen arviointi tapahtuu harjoitusaktiivisuuden, kirjallisten tehtävien ja välikokeiden perusteella.