Approbatur 3

tekijä: Mikko Matias Saarimäki Viimeisin muutos tiistai 17. kesäkuuta 2014, 09.24

Kurssin Approbatur 3 esittely

MATP170  (5 op)

Opintojen yleistavoite

Opiskelijan tulee perehtyä matemaattiseen päättelyn periaatteisiin ja pystyä käyttämään niitä erilaisilla diskreetin matematiikan alueilla.

Lukuteoriassa opiskelijan tulee osata tehdä yksinkertaisimpia jaollisuus- ja modulolaskentapäättelyjä. Permutaatioiden osalta opiskelijan tulee tietää niiden erilaiset esitystavat ja osata käyttää niitä. Opiskelijan tulee lisäksi perehtyä tasokuvioiden ja avaruuskappaleiden symmetrisyyden selvittämiseen permutaatioiden avulla sekä tietää niihin liittyvät mahdolliset symmetriaryhmät.

Todennäköisyyslaskennassa opiskelijan tulee perehtyä klassiseen kombinatoriikkaan ja osata ratkaista yksinkertaisia riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksiä. Hänen tulee myös perehtyä ehdollisen todennäköisyyden kiemuroihin.

Toteutus

Kurssi toteutetaan pitämällä noin 30 h luentoja, 16 h ohjauksia ja 16 h harjoituksia. Osa harjoitustehtävistä jätetään kirjallisesti ja ne arvioidaan. Kurssiin kuuluu yksi välikoe. Kurssin suoritus tapahtuu siis aktiivisesti harjoituksiin osallistumalla, kirjalliset harjoitukset tekemällä ja välikokeen onnistuneella suorittamisella.

Suoritustapa

Harjoituksiin osallistuminen, kirjalliset tehtävät ja testaava koe tai pelkkä loppukoe.

Ajoitus

Keväällä Approbatur 2 -kurssien rinnalla tammi-toukokuussa. Kurssi on muista perusopintokursseista riippumaton ja sopii hyvin perusopintojen aloituskurssiksi. 

Kirjallisuus

Saarimäki: Diskreettiä ja äärellistä matematiikkaa, Jyväskylän yliopiston avoin yliopisto, 2007.

Sisältö yleisesti

Sisältö on lähinnä diskreettiä matematiikkaa. Ensinnä tutustutaan matemaattisen päättelyn periaatteisiin. Kerrataan logiikan ja joukko-opin merkintöjä ja opetellaan suoran, käänteisen suoran ja epäsuoran päättelyn periaatteet. Lukuteoriassa perehdytään luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen ominaisuuksiin: jaollisuuteen, alkulukuihin ja jäännösluokkiin. Tässä yhteydessä voi mielekkäästi harjoitella päättelytekniikkaa. Lukuteorian tietoutta sovelletaan mm. koodausteoriassa käytettävään RSA-salausmenetelmään.

Seuraavaksi tutustutaan äärellisten joukkojen bijektioihin eli permutaatioihin. Näistä käsitellään perusasiat ja erilaisia permutaatioiden esitystapoja. Permutaatioiden avulla ratkaistaan tasokuvioiden ja avaruuskappaleiden symmetriaan liittyviä kysymyksiä. Käsitellään tason isometrioiden luokittelu ja tasokuvioiden mahdolliset symmetriaryhmät. Avaruuskappaleista johdetaan säännölliset monitahokkaat ja niiden symmetriaryhmät.

Lopuksi tutustutaan kombinatoriikkan ja varsinkin klassiseen todennäköisyyteen. Käsitellään riippumattomiin tapauksiin perustuvat todennäköisyydet, ehdollinen todennäköisyys ja binomitodennäköisyys. Käsitellään myös diskreetin ja mahdollisesti myös jatkuvan satunnaismuuttujan peruskäsitteitä, kuten jakauma, kertymäfunktio, odotusarvo ja keskihajonta.

Sisältö

I Matematiikasta ja logiikasta

  1. Matematiikka tieteenä
    • Johdanto: aksiooma, määritelmä, lause, hierarkisuus
  2. Lauselogiikkaa
    • Propositio, totuusarvo, avoin lause
    • Konnektiivit: implikaatio, ekvivalenssi, negaatio, konjunktio, disjunktio
    • Tautologia
    • Suora päättely, käänteinen suora päättely, epäsuora päättely
    • Oletus, väitös, antiteesi, ristiriita
  3. Predikaattilogiikkaa
    • Kvanttorit
    • Negaation ja kvanttorin vaihtosääntö
    • Symbolismi vs. sanallisuus
  4. Joukko-oppia
    • Joukkomerkintä
    • Inkluusio, samuus
    • Leikkaus, yhdiste, joukkoerotus
    • Vennin kuvio

II Lukuteoriaa

  1. Luonnolliset luvut ja täydellinen induktio
    • Luonnolliset luvut
    • Induktioaksiooma
    • Pienimmän alkion periaate
    • Täydellinen induktio
  2. Jaollisuus
    • Kokonaisluvut
    • Jakoyhtälö m=qn+r
    • Jaollisuus
    • Suurimman yhteisen tekijän (syt) määritelmä ja ominaisuuksia
    • Eukleideen algoritmi. Syt:n yksikäsitteisyys, olemassaolo ja lineaariesitys
    • Keskinäinen jaottomuus
  3. Alkuluvuista
    • Alkuluku - yhdistetty luku
    • Aritmetiikan peruslause
    • Alkulukuja on paljon!
    • Eratostheneen seula
    • Fermat'n luvut
    • Mersennen luvut
    • Fermat'n suuri lause

III Modulolaskentaa

  1. Jäännösluokat
    • Kongruenssi modulo n
    • Ekvivalenssirelaatio, jäännösluokat
  2. Laskutoimitukset
    • Yhteen- ja kertolasku, 'rengas' , operaatiotaulut
  3. Jaollisuustestejä
    • Jaollisuuspäättelyjä
  4. Käänteisalkioista
    • Käänteisalkioista
    • Fermat'n pieni lause
  5. RSA-menetelmä
    • RSA-algoritmi

IV Permutaatio

  1. Bijektio ja permutaatio
    • Injektio, surjektio, bijektio, permutaatio
    • Permutaatioiden ominaisuuksia ja lukumäärä
    • Symmetrinen ryhmä
  2. Permutaatioesityksiä
    • Kierto, kiertojen tuloesitys
    • Vaihto eli transpositio, transpositioesitys
    • Muita tuloesityksiä
  3. Parillisuus
    • Parillinen - pariton, merkki
    • Parillisten permutaatioiden lukumäärä
    • Alternoiva ryhmä

V Symmetria

  1. Mitä on symmetria?
    • 12-pyramidin, 6-prisman ja tetraedrin (kierto)symmetriat
  2. Tasokuvioiden symmetriaryhmät
    • Kolmion symmetriat
    • Säännöllisen n-kulmion symmetriat
    • Dihedraaliryhmä
    • Leonardo da Vincin lause
    • Äärelliset symmetriaryhmät
    • Kirjainten symmetriaryhmiä
  3. Monitahokkaista
    • Tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri, ikosaedri
    • Schlegelin kuvio, Eulerin kaava
    • Platonin kappaleet ja Arkhimedeen monitahokkaat
    • Tetraedrin ja kuution kiertoryhmä
    • Avaruuskuvioiden äärelliset kiertoryhmät
  4. Tason isometrioista
    • Isometria, isometriaryhmä
    • Siirto, kierto, peilaus, liukupeilaus
    • Origon säilyttävä isometria
    • Isometrioiden luokittelu

VI Todennäköisyyslaskentaa

  1. Kombinatoriikkaa
    • Tulo- ja summaperiaate
    • Variaatio ja kombinaatio
  2. Äärellinen todennäköisyyskenttä
    • Yhdistelmä (kombinaatio)
    • Klassinen tn, tilastollinen tn
    • Aksioomat
    • Komplementin tn ja muita sääntöjä
  3. Otanta ja toistokoe
    • Otannat (ilman takaisinpanoa ja takaisinpanolla)
    • Toistokoe, binomitodennäköisyys
  4. Ehdollinen todennäköisyys
    • Määrittely
    • Kertolaskusääntö, riippumattomuus
    • Kokonaistodennäköisyys
    • Käänteistodennäköisyys
  5. Jakauma ja odotusarvo
    • Satunnaismuuttuja, tiheysfunktio, kertymäfunktio
    • Jakauma
    • Odotusarvo ja keskihajonta

Opintojen arviointi

Ohjauksissa suoritetaan opiskelua edistävää ja neuvovaa arviointia, harjoituksissa taas opiskelija saa palautetta omista ja muiden suorituksista ja saa siten pohjan etenemisensä ja suoritustasonsa itsearviointiin.

Opintojakson toteutuksen aikana tehdään oppimistulosten arviointia ja sen perusteella tehdään sisältövalintoja sekä kehitetään ja muokataan opetusmenetelmiä ja kohdennetaan ohjausta ja neuvontaa vaikeammiksi todettujen asioiden oppimiseksi.

Kurssin suorituksen arviointi tapahtuu harjoituksiin osallistumisen ja kirjallisten harjoitustehtävien perusteella sekä kurssin päätteeksi pidettävän testaavan kokeen avulla. Harjoituksiin osallistumisen painoarvo arvioinnissa on 2/9 ja kirjallisten harjoitusten painoarvo on 4/9 ja testaavan kokeen 3/9. Tarkemmat arviointi perusteet selviävät opiskeluoppaasta. Yhdistetty kokonaisarvostelu tehdään asteikolla 1−5.